数学上,有哪些让人拍案叫绝的证明过程?

时间:2019-03-07 11:13:07  编辑:奇趣网

回答者:【三思逍遥】

我来说说个人体会吧。

虽然现在没有从事数学相关的工作,甚至连曾经学过的数学也差不多忘光了,但依然有些数学证明,至今难忘。而我小时候,第一次品尝到数学这门学科的魅力,正是来自这些巧妙的证明,这让我养成了特别喜欢做证明题的兴趣,它远远比简单的计算要更有意思,常常为了证明一道题而冥思苦想甚至茶饭不思。


引我进入数学证明大门的一道题,其实很简单:

请证明不存在最大的素数

早在公元前300年,欧几里得就证明了这道题,不存在最大的素数

所谓素数是指大于1,只能被1和自身整除的自然数。

比如2是素数,它也是唯一即是素数又是偶数的数,因为下一个偶数4,就不再是素数,它可以被2整除,能被2整除本来就是偶数的定义。因此,任何大于2的数,如果它是一个素数,那它必须是一个奇数。但当然不是所有奇数都是素数,比如数字9,它是奇数,但它能被3整除,因此它不是一个素数。

注意,所有大于1且非素数的数,一定能被一个素数整除。

比如,所有大于2的偶数都能被2这个素数整除。

至于奇数,要么是素数,要么能被素数整除

因为非素数的奇数一定是3、5、7、11、13..... 这些素数的倍数,即能被这些素数整除,如果不能被这些素数整除的奇数,那么它自身就一定是个素数呀。

让我们换种方式写一下数字。

1,2,3,2*2,5,2*3,7,2*4,3*3,2*5,11,2*6(3*4),13,2*7,3*5,

要想证明这道题,除了知道素数的定义,还需要知道这个至关重要的基础:

至于奇数,要么是素数,要么能被素数整除。


如果你尝试写下1~10000以内的素数,你会看到一个规律,那就是随着数字增大,素数出现的频率开始降低,毕竟数字越大,它就越有可能被另一个数整除,不是么?后世的数学家们发现,从不大于数字N的范围内随机抽一个数,它恰好是一个数字的概率略为1/lnN(ln 自然对数),当N非常非常非常大的时候,您可以将它简化为1/N,很明显数字越大,你恰好随机抽到一个素数的概率就越小,但注意这个概率将永不等于零,哪怕N趋近于无限大也一样,因为这只是素数出现频率的估计,的确数字越大,素数将越来越稀少,但无论它多么少,素数总是存在着,这就是证明题的魅力,我们很早以前就知道了:不存在最大的素数。


最初,我看到这道题的时候,还是个熊孩子,看到这道题的感觉完全就是懵逼的,一头雾水,狗咬乌龟找不到下嘴的地方,直到我看了答案,才恍然大悟拍案惊奇,从此学会了一种至关重要的思维方式,受益终生,不仅仅是在数学上,也在别的地方有用。


  • 反证法

如何证明不存在最大的素数呢?

如果找不到一种正面的证明方式,那么不妨让我们先假设存在一个最大的素数,然后在此基础上进行推理,看是否会得到一个荒谬的结果,如果能,那就说明我们的假设是错的,即存在一个最大素数的假设是错的,由于答案只能是二选一,没有更多选择,这时候否定了一方,就等于肯定了另一方,因为两者必居其一。要么存在最大的素数,要么不存在,没有第三种可能性。

现在,让我们看看推理过程,别怕,这是小学生都能看得懂的过程,当然,你得先记住什么是素数。让我再重复一下。

大于1且只能被1或自身整除的数,就是素数,大于2的时候,所有的素数都必然是奇数。而奇数,它要么是一个素数,要么能被一个素数整除。


1、假设存在最大的素数,它等于N。

只要我们能推翻这个假设,就意味着不存在最大的素数。

2、那么我们可以利用数字N,构造出一个新的数字M,它=2*3...*N+1

这个加1很重要,是整个证明的精华所在,是回头来看时拍案惊奇之处,毕竟我就是告诉你,这道题要用反证法来证明,你也得找到具体的证明办法才行。

3、注意,新数字M是个奇数,所以M要么是一个素数,要么不是一个素数

3.1 假如数字M是素数,那么M>N,即存在最大素数的假设是个错误,证毕。

3.2 假如数字M不是素数,那么必然存在一个素数X,能整除M。

4、由于M = 1*2*3*....*N +1 ,这就意味着从2开始一直到N,作为除数去除M,都不可能把M整除,即M/(2....N)都不可能是一个整数,总会有一个余数1。因此X必然大于N。由于X是个素数,因此原假设存在最大的素数N,不正确,因为还有比它更大的素数X。按照同样的逻辑,我们可以证明X也不是最大的素数,您只需要把上面的证明流程再循环一次就能得到比X大的素数,无穷无尽。


我来举个实例吧,

假设N=5是最大的素数

那么M=2*3*4*5+1 = 121

121不是一个素数

它可以被素数11整除

但11>5,所以5是最大的素数被否证。

同样11也不是最大的素数

因为2*3******11+1 = 39916801,

这个数本身就是一个素数,它可比11大得多。

这样的过程可以无限循环,但数字迅速增大,超过人力计算的范畴

但证明题的魅力就在于,只要逻辑正确,前提无误,我们就脱离了硬算的限制,进入自由世界。


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回答者:【火星一号】

有关数学公式的证明很多,下面介绍几个常见公式的巧妙证明过程。

(1)自然数的立方和=自然数之和的平方

上述等式的左边为自然数的立方和,等式的右边为自然数之和的平方。虽然通过分别推导出左右两边的计算公式就能证明该等式,但通过如下的图形很直观地就能证明上式:

把自然数立方和的图形平铺看来,其中的正方体数量刚好是就是自然数之和的平方,所以就能证明上述等式成立。

(2)勾股定理

这个公式为勾股定理,我国在商朝时就已经发现了直角三角形的一个特例——勾三股四玄五,后来的中外数学家通过各种方法来证明这个公式。下面要介绍的是加菲尔德证法的变形方法,这可以很容易证明勾股定理:

大正方形的面积为:

(a+b)^2

大正方形的面积也等于四个三角形的面积以及小正方形的面积之和:

4×(1/2ab)+c^2

由此可得下式:

(a+b)^2=4×(1/2ab)+c^2

化简之后,即可得勾股定理:

a^2+b^2=c^2

(3)欧拉恒等式

这个公式就是著名的欧拉恒等式,它被誉为最美的数学公式。一个十分简单的公式就结合了数学中最重要的常数——自然常数e、虚数单位i、圆周率π、自然数1、自然数0,以及最重要的数学符号——加号+、等号=。

欧拉恒等式源自于如下的欧拉公式:

对欧拉公式的左边e^(iθ)进行泰勒展开可得:

再分别对cosθ和sinθ进行泰勒展开可得:

显然,cosθ与sinθ之和刚好等于e^(iθ),由此就能证明欧拉公式成立。再令欧拉公式中的θ=π,即可得下式:

e^(iπ)=-1+0

对上式进行移项,最终就可以推导出欧拉恒等式的常见形式。

(4)证明圆周率是无理数

圆周率是无理数的证明方法不少,下面要介绍的是数学家Ivan M. Niven给出的反证法,这种方法简单而又巧妙。

倘若π为有理数,必然存在整数a和b,使得下式成立:

π=a/b

构造如下两个函数:

其中n为正整数。

显然,f^k(0)、f^k(π)、F(0)以及F(π)都为整数。而且f(x)和f^k(x)都会满足f(x)=f(π-x),它们都在x=0以及x=π处可积。

再构造函数G(x)=F'(x)sinx-F(x)cosx,并对其进行求导可得:

对上式两边从0到π都进行积分可得下式:

因为F(0)以及F(π)都为整数,故F(π)+F(0)亦是整数。当x∈(0, π)时,显然有f(x)>0且sinx>0,故f(x)sinx>0,所以F(π)+F(0)>0,并且f(x)sinx在[0, π]上的积分为正整数。

当x∈(0, π)时,显然有a-bx<a,故(a-bx)^n<a^n。因为x^n<π^n,所以可得如下的不等式:

显然,当n→+∞时,f(x)sinx→0,由夹逼定理可得,f(x)sinx在[0, π]上的积分也会趋于0。然而,上述的推导表明这个积分是正整数,所以两者出现了矛盾。这意味着π=a/b不成立,所以圆周率必然为一个无理数。

回答者:【科学认识论】

这个问题是很带有主观色彩的,毕竟每个人看法不一样,我只说出我认为数学上好的证明过程。

无理数的无理数次方可能为有理数

说实话无理数的无理数次方让人听起来就有点头晕,现在还要证明其结果可能为有理数。有些数学不好的人可能脑袋都要大了。

但总有一些人我们理解不了,例如这种证法若根号2的根号2次方为有理数,命题得证以得证。如果这个数扔为无理数那么:

此时我们同样得到了一个无理数的无理数次方是有理数的例子。怎么样,是不是想拍案叫绝?

中国古人对勾股定理的证明

勾股定理没有人不知道,但是这只是以我们现在的眼界去看。想想我们的古人在千年之前就能够证明了!

这是三国时期赵爽的证明过程:

三角形为直角三角形,以勾a为边的正方形为朱方,以股b为边的正方形为青方。以盈补虚,将朱方、青放并成弦方。依其面积关系有a^2+b^2=c^2.由于朱方、青方各有一部分在玄方内,那一部分就不动了。 以勾为边的的正方形为朱方,以股为边的正方形为青方。以赢补

虚,只要把图中朱方(a2)的I移至I′,青方的II移至II′,III移至III′,则刚好拼好一个以弦为边长的正方形(c……2 )。由此可证勾股定理。

其他证明

其实数学上让人惊叹的证明过程有很多很多,仔细翻一翻自己的高中数学书或者高等数学书你会发现很多证明过程简直令人惊叹,有时忍不住会想,他们的脑回路是怎么转的。

数学史上,比如费马大定理的证明,关于积分的证明,哥德巴赫猜想等等都是人类智慧的结晶。

你碰到过什么让你赞叹的数学证明吗?


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回答者:【一花一尘埃 历史问答达人】

看了几个回答谈到了反证法,想起了我一直的一个疑惑,和题目关系不是很大,我觉得反证法本身可能就有问题。

我高中的时候有一次数学练习题,有一道证明题,具体我忘了,总之大概就是给了一些条件,最后证明k>2,我当时就没有解出来,后来老师讲题的时候用的反证法,倒推后证明k<=2时与题目给定的条件不一致,所以k>2成立,其实这种题高中时倒也常见,但我当时突然有点疑问,就问了老师一个问题,如果我不去证明k<=2时不符合给定的条件,而是去证明k<=1时不符合给定的条件(这个肯定是成立的,因为k<=2的区间包含k<=1),那么这个题不就无法证明了?怎么确认“2”是恰好的分界点?也许还有"2.1"、“3”啊,老师让我证明一遍,我用反证法很快照着老师的思路证明k<=1时,不符合题目给定的条件,所以k>1(事实上,k>1包含k>2),老师当时也有点懵,我当时学习不是那种很好的,老师就说让我别考虑别的数字,既然题目是2,就用2。所以,我一直到现在都觉得反证法本身是有局限的,甚至是有问题的。当然,一家之言,我本身数学也不大好,如果不对请勿喷,如果有人能解答疑惑,万分感谢。

看了很多回复,我觉得应该重申一下我要说的关键,我不是说这个题怎么样,我是对反证法这种证明方法有异议,因为这种证明题,一般都是根据条件推导出结论,几乎没用过反证法。如果把这个题改一下,其他条件都不变,但改成不知道结论的求解题,大家随便假设一个数,然后反证法证明了,这个过程也没有问题,但明显不对,再说如果我反证法证明了k>3,那算不算对?如果一个证明方法等得出很多不同的结果,还有什么意义?这里重点是那个恰好的节点,如果能证明2就是那个节点,那就不需要用反证法了。

回答者:【窥探数字结构 】

拍案称奇的冰雹猜想证明。

这个猜想就是个数字游戏。数字跳跃碰找4的n次方。因为猜想的框架结构为:奇数(x3+1)÷2。

所以会形成:4=1X3+1,会形一个本质结构规律。4²的次方等于16,16-1=15,15÷3=5,这是第一个一步回归数。

4³的次方是64,64-1=63,63÷3=21,这是第二个一步回归数。

4的4次方是256,256-1=255,255÷3=85,这是第三个一步回归数,以此类推到无限。

用4的N次方。写入公式为:(4n²-1)÷3。

它还有另一个性质,用以上公式会形成下列结构:

4x1+1=5=4的1次方+1。

4x5+1=21=4²+4的1次方+1。

4x21+1=85=4³+4²+4的1次方+1。

4x85+1=341=4的4次方+4³+4²+4的1次方+1。

4x341+1=1365=4的5次方+4的4次方+4³+4²+4的1次方+1。

4x1365+1=5461=4的6次方+4的5次方+4的4次方+4³+4²+4的1次方+1。

4x5461+1=21845=4的7次方+4的6次方+4的5次方+4的4次方+4³+4²+4的1次方+1。

以此类推到无限。

我们知道猜想的规则是奇数x3+1=偶数,偶数÷2=奇数,来回循环。所以我们可以证明一下。把所有的无限奇数x3=3的倍数,+1=÷3=余1的偶数,它们4+6=10. 10+6=16。

4.10.16.22.28.34.40.46.52.58.64.……。下去你会发现4n次方都在这些当中,这占自然数的1/6,把这些x3+1的偶数÷2会有两种结果,一种是偶数,一种是奇数,各一出一。奇数又有种结果,就是它们都是÷3余2的数。把÷2的偶数再÷2,就是÷3余1的数,来回循环,为什么会这样,是因为余1数x2=余2数,而余2的偶数÷2=余1数。

因为冰雹猜想本质就是数字游戏,奇数x3+1=偶数,也就是膨胀性质,它是一次一次的,偶数÷2条件合适可以连续÷2,所以是÷2是收缩的性质。

奇数x3+1是跳跃,+1是找4n次方,因为每个奇数(x3+1)÷2的路线是固定的。循环次数也是固定的。所以这个猜想的等式是成立的,不存在反例,只是每个奇数的起点位置不同,确定了循环的次数与形成时间的长度。

那么我们找一下4n次方,我们按照解刨倒推法一步一步来。4的n次方是

4.16.64.256.1024.4096.16384.65536……。无限下去,会发现都是-1÷3数,也是连续÷2可以归1的数。把这些数字-1÷3。分别是

1.5.21.85.341.1365.5461.21845……。

因为÷3数是起点没有上一层,所以能整除3的数不理它。其它的数都是猜想第一个一步回归数,上面的奇数都是x4+1的连续数,可以发现有被3整除数,有除3余1数,有除3余2数。除3数不能被做为回归数,余1数(x4-1)÷3=第二个回归数,余2数(x2-1)÷3=是第二个回归数。让我们试一试证明一下。(5x2-1)÷3=3 ,3是第一个回归数,但3没有上一个回归数。用3x4+1=13.是5的第一个一步回归数,13x4+1=53. 是第二个5的第二个一步回归数,53x4+1=213. 213是可以被3数除的数,不做为回归数。213x4+1=853.是5的第三个一步回归数。853x4+1=3413.是5的第四个一步回归数。以此类推,有无限个5的一步回归数。

5的起点回归数是3。用(5x2-1)÷3=3.因为3能被3整除.所以不能做为回归数。用3x4+1=13. 13是5的第一个回归数。用13x4-1=51.51÷3=17.所以17是13的第一个一步回归数,17x4+1=69.不能做为13的回归数,69x4+1=277. 是13的第二个一步回归数。277x4+1=1109.是13的第三个一步回归数。让我们验证一下:1109x3+1=3328÷2=1664÷2=832÷2=416÷2=208÷2=104÷2=52÷2=26÷2=13x3+1=40÷2=20÷2=10÷2=5x3+1=16÷2=8÷2=4÷2=2÷2=1。因为数字是无穷的,以样本推整体。只要等式成立,就是正确的,和计算机计算大数是没用的。

为什么没有反例,是因为等式成立。随着数字增大,也只不过相对增加了步数的长度与时间。但再长的路也是有尽头的,只是个时间问题。

在分成枝口后,在奇数中÷3只有三种性质:被3整除数,余2数,余1数,要想找出连续被3整数,余2数,余1数,就各x85,就是各个分枝口的位置。分枝都伸向无限,把这棵树推展不来,就是所有奇数的位置,用(奇数x3+1)÷2就能从下图知道为什么每个数最终都能归1。

述:因本人是体力民工,小学文化,业余爱好数学,专业术语与数学规范数学符号书写欠缺。望有识之士谅解!我叫赵生明,陕西省榆林市榆阳区刘千河乡果园塌二组村民。开始研究是2018年4月左右到现在共用了三个多月的时间。书写日期为2018年7月16日13点45分。


回答者:【白这个颜色 历史问答达人 历史领域创作者】

拍案叫绝的证明过程确实有,在【我和你妈同时掉河里你先救谁】的求证过程中,首先根据速度时间距离的关系,再通过年龄计算出肌肉的爆发力和滑动摩擦力,这样就可以得出年轻女朋友的速度大于你妈,女朋友应该走在前面,再从河岸倾斜度,算出女朋友在加速度下入水的提前量,所要考虑的重点是你女朋友的体重,如果骨感,入水速度更快。

你妈作为中年妇女,体重应该大于你女朋友,这就要有准确的近似值考虑,以便估计你女朋友和你妈之间的距离差,你妈在速度不变的情况下,到达你女朋友的落水点需要多长时间?

通过证明可得,你女朋友和你妈同时掉河里,从理论上不存在,你女朋友首先不是个盲眼的,之所以掉河里,只有一种可能,你女朋友一路低头抠手机,在撩前任,私约,这种情况下,不可能和你妈并肩而行。由此可知,你妈掉河里,为救你女朋友,早把生死置之度外。你女朋友说成你妈和她同时掉河里,是推卸责任,不懂感恩。

你在通过反复证明之后,应该作出正确选择,你妈入水较晚,离岸最近,是否舍近求远?应该以最快速度,奋力把你妈推向岸边,让你妈上岸找到你女朋友的手机,把女朋友营救之后,立刻查看聊天记录,一切水落石出,起诉你女朋友前任故意绿人罪,或者连女朋友一起起诉,告她与前任合谋害你亲妈。一切会有的,一切会发生的,掉河里就掉河里呗,问君能有几多愁,恰似一江春水向东流,反正是离不开水,既然是水命,就水水算啦,还指望一个答案能让你女朋友海枯石烂咋滴?

回答者:【王庆元61292207 财经问答达人 财经领域创作者】

孪生素数的猜想:自然数中存在着无穷多个孪生素数。今天就给出一个中学生就能着懂的证明。下面讲述核心证点。

1,除去2、3二个素数所有的素数均只存在在三分之一的非零自然数中。2、所有孪生素数的终极形式为6N+1,6N-1。

3、在此三分之一的非零自然数中所有奇合数可归集在三种直线束形态中:a、一部分奇合数存在于7N+1、13N+2、

19N+3、⋯无穷等差数列中、(即这些数列中每一个值都对应绝对关系的一个奇合数、)、b、第二部分奇合数存在于

5N-1、11N-2、17N-3、⋯无穷等差数列中、c、第三部分奇合数存在于5N+I、11N+2、17N+3、⋯无穷等差数列中。

4、在上述第三点指出的三分之一非零自然数中除去第三条所述的所有奇合数的点、剩下的所有自然数的点就是孪生素

数点。5、自然数N本身就是公差为1的无间隙的、在数论上可称为连续的特殊等差数列(即在正整数上连续的)、除了

它、要使等差数列每个值连续必须是一个等差数列群之和、而这个等差数列群是有严格要求的、而第三条中a、b、c、提

及到的直线束形态的等差数列群、各方面都达不到每个值连续的要求、所以在这三分之一非零自然数中就有无穷个不连

续的点(因为N是无穷的)、这也就证明了孪生素数有无穷多个。猜想己证明。(当然这五条的每一条的具体论据论证要

化费十几页纸的笔墨、有机会再谈。)如果用非数学专业的方法能证明这个世界难题、即当红数学家张益唐先生当前的

研究课题、我想应该是要拍案叫绝了、如果在上述证明逻辑中找不出问题的话、这个猜想应该是被我首次提出用等差数列

方法证明了。

回答者:【未泯双瞳 社会问答达人 科技领域创作者】

【命P_x(1,2)为适合下列条件的素数p的个数: x-p=p_1或x-p=(p_2)*(p_3) 其中p_1, p_2 , p_3都是素数. 用x表一充分大的偶数. 命Cx={∏p|x,p 2}(p-1)/(p-2){∏p 2}(1-1/(p-1)^2 ) 对于任意给定的偶数h及充分大的x,用xh(1,2)表示满足下面条件的素数p的个数: p≤x,p+h=p_1或h+p=(p_2)*(p_3), 其中p_1,p_2,p_3都是素数.


也许这不是最拍案叫绝的证明过程,但绝对是中国人在数学领域内做出的最杰出的贡献,这就是我国著名数学家陈景润在1966年提出的,关于哥德巴赫“1+2”的证明。

1973年,《中国科学》杂志正式发表了陈景润的论文《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》


时至今日,依然没有任何数学家能够证明“1+1”的问题,所以陈景润这个关于“1+2”问题简洁清晰的证明便显得弥足珍贵。

回答者:【泳思历山 文化领域创作者】

最让人拍案叫绝的证明是:

0.9999.....=1

步骤非常简单,简洁,优雅,即使一个完全不懂数学的人也看的懂。

如下:

∵0.9999....=0.3333...+0.3333....+0.3333....

∵0.3333...=1/3

∴0.9999....=1/3+1/3+1/3=3/3=1

是不是很巧妙,是不是很拉风,是不是很容易理解?

回答者:【笑看风云1654308 】

费马大定理的极简证明,利用巴罗阿贝尔关系式,直接可以推出当n>2时,等式左右对n来讲是不成立的。欧拉关于n=3的证明,用我的通式更简单。先附n=3的证明。


回答者:【彬兰子442 】

写个小学题,证明0.99999999..……=1。证:0.99999999..……÷3=1÷3,证毕。

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